Come si usa
Scrivi i numeri separati da virgole o spazi, per esempio 48, 36, 60: da due a venti numeri, ciascuno fino a mille miliardi. Ottieni il M.C.D., il m.c.m. degli stessi numeri, la scomposizione in fattori primi di ognuno, i fattori comuni con l’esponente minore, l’algoritmo di Euclide per i primi due numeri e ciascun numero diviso per il M.C.D.: sono i numeri «ridotti» che servono, per esempio, per semplificare una frazione.
Che cos’è il massimo comune divisore
Il M.C.D. di due o più numeri naturali è il numero più grande che li divide tutti senza resto. I divisori di 48 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48; quelli di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. I divisori comuni sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12, e il più grande è 12. Quando il M.C.D. è 1 i numeri si dicono primi tra loro (o coprimi), come 8 e 9, anche se nessuno dei due è un numero primo.
Come si calcola il M.C.D. con la scomposizione
- Si scompone ogni numero in fattori primi: 48 = 2⁴ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5.
- Si prendono solo i fattori comuni a tutti i numeri, ciascuno con l’esponente minore: il 2 compare in tutti e tre (esponente minore 2), il 3 pure (esponente minore 1); il 5 c’è solo nel 60 e si scarta.
- Si moltiplicano: 2² × 3 = 12.
Per scomporre i numeri con la tabella in colonna usa la scomposizione in fattori primi. Il calcolo del m.c.m. parte dalle stesse scomposizioni ma prende i fattori comuni e non comuni, con l’esponente maggiore.
L’algoritmo di Euclide
Con numeri grandi la scomposizione è faticosa. Il metodo di Euclide, vecchio di oltre duemila anni, usa solo divisioni: si divide il numero maggiore per il minore, si sostituisce il maggiore con il resto e si ripete finché il resto è zero. L’ultimo resto diverso da zero è il M.C.D. Per 1071 e 462:
- 1071 = 2 × 462 + 147
- 462 = 3 × 147 + 21
- 147 = 7 × 21 + 0 → M.C.D.(1071, 462) = 21
Funziona perché ogni numero che divide a e b divide anche il resto a − q × b: a ogni passaggio i divisori comuni restano gli stessi, mentre i numeri diventano più piccoli. Con tre o più numeri si procede a coppie: M.C.D.(48, 36) = 12, poi M.C.D.(12, 60) = 12.
Semplificare le frazioni con il M.C.D.
Dividendo numeratore e denominatore per il loro M.C.D. si arriva in un solo passaggio alla frazione ridotta ai minimi termini:
| Frazione | M.C.D. | Frazione ridotta |
|---|---|---|
| 12/18 | 6 | 2/3 |
| 36/48 | 12 | 3/4 |
| 40/100 | 20 | 2/5 |
| 64/80 | 16 | 4/5 |
| 105/147 | 21 | 5/7 |
| 150/225 | 75 | 2/3 |
La calcolatrice di frazioni semplifica da sola il risultato di ogni operazione.
Problemi tipici
Mazzi uguali. Un fioraio ha 48 rose e 36 tulipani e vuole comporre il maggior numero possibile di mazzi uguali, senza avanzi. I mazzi sono M.C.D.(48, 36) = 12, e ognuno contiene 48 ÷ 12 = 4 rose e 36 ÷ 12 = 3 tulipani.
Piastrelle quadrate. Una parete di 240 cm × 180 cm va rivestita con piastrelle quadrate intere, le più grandi possibili. Il lato della piastrella è M.C.D.(240, 180) = 60 cm e ne servono 4 × 3 = 12.
M.C.D. e m.c.m. insieme. Per due numeri vale a × b = M.C.D. × m.c.m.: 48 × 36 = 1728 e 12 × 144 = 1728. Con tre o più numeri la regola non vale più.
Domande frequenti
Qual è il M.C.D. di 12 e 18?
6. I divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 e quelli di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18: il più grande in comune è 6. Con la scomposizione, 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3², e i fattori comuni con l’esponente minore danno 2 × 3 = 6.
Come si calcola il MCD tra tre numeri?
Si scompongono tutti e tre e si moltiplicano solo i fattori presenti in tutti, con l’esponente minore. In alternativa si lavora a coppie: M.C.D.(a, b, c) = M.C.D.(M.C.D.(a, b), c). Nel calcolatore basta scrivere i tre numeri separati da virgole.
Che cosa vuol dire M.C.D. uguale a 1?
Che i numeri sono primi tra loro: non hanno divisori comuni oltre a 1. Succede con due numeri primi diversi, come 17 e 5, ma anche con numeri composti come 8 e 9. Una frazione con numeratore e denominatore primi tra loro è già ridotta ai minimi termini.
Il M.C.D. può essere più grande di uno dei numeri?
No. Il M.C.D. non supera mai il numero più piccolo e coincide con esso quando il più piccolo divide tutti gli altri: M.C.D.(12, 36, 60) = 12.
Che cosa significano GCD e HCF?
Sono le sigle inglesi del massimo comune divisore (greatest common divisor e highest common factor). Le trovi nei libri in inglese, sulle calcolatrici scientifiche e nei linguaggi di programmazione, dove la funzione si chiama spesso gcd.
Ultimo aggiornamento: 14 ottobre 2026