Come si usa
Inserisci un numero intero da 1 a 1.000.000.000.000. Il calcolatore lo scompone in fattori primi, elenca tutti i divisori in ordine crescente, li raggruppa nelle coppie che moltiplicate danno il numero, ne calcola la somma e ti dice se il numero è primo o è un quadrato perfetto.
Il metodo in colonna
A scuola la scomposizione si fa con la tabella in colonna: si scrive il numero a sinistra della riga verticale e a destra il più piccolo numero primo che lo divide; sotto si scrive il quoziente e si continua finché a sinistra resta 1. I fattori primi sono i numeri della colonna di destra. Ecco 360:
| Numero | Fattore primo |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Il 2 compare tre volte, il 3 due volte e il 5 una volta, quindi 360 = 2³ × 3² × 5. Conviene provare i primi in ordine: il 2 finché il numero è pari, poi il 3, il 5, il 7 e così via. Ci si può fermare quando il quadrato del primo da provare supera il numero rimasto: ciò che resta è a sua volta primo. Comunque si proceda, anche con l’albero dei fattori (360 = 36 × 10 = 6 × 6 × 2 × 5 = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 5), si arriva sempre agli stessi fattori: la scomposizione in fattori primi è unica.
La scomposizione dei numeri più cercati
| Numero | Scomposizione | Numero di divisori |
|---|---|---|
| 12 | 2² × 3 | 6 |
| 18 | 2 × 3² | 6 |
| 24 | 2³ × 3 | 8 |
| 36 | 2² × 3² | 9 |
| 48 | 2⁴ × 3 | 10 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | 12 |
| 72 | 2³ × 3² | 12 |
| 100 | 2² × 5² | 9 |
| 120 | 2³ × 3 × 5 | 16 |
| 144 | 2⁴ × 3² | 15 |
| 180 | 2² × 3² × 5 | 18 |
| 360 | 2³ × 3² × 5 | 24 |
I divisori: quanti sono e come si trovano
Un divisore di un numero lo divide senza resto: 8 è divisore di 360 perché 360 ÷ 8 = 45. I divisori vanno a coppie il cui prodotto è il numero (1 × 360, 2 × 180, 3 × 120 … 18 × 20), quindi basta cercarli fino alla radice quadrata, √360 ≈ 18,97. Dalla scomposizione si ricava anche quanti sono: si aggiunge 1 a ogni esponente e si moltiplica. Per 2³ × 3² × 5 si ottiene (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 divisori. I divisori comuni a più numeri servono per il calcolo del M.C.D., i multipli comuni per il calcolo del m.c.m. La riga «somma dei divisori propri» dice anche se il numero è perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14), abbondante (i divisori propri di 12 sommano 16) o difettivo, come ogni numero primo.
I numeri primi
Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per 1 e per sé stesso. I numeri primi minori di 100 sono 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. L’1 non è primo perché ha un solo divisore, e il 2 è l’unico primo pari. Per sapere se 97 è primo basta provare i primi fino a √97 ≈ 9,8, cioè 2, 3, 5 e 7: nessuno lo divide, quindi 97 è primo.
I criteri di divisibilità
| Divisibile per | Criterio | Esempio |
|---|---|---|
| 2 | l’ultima cifra è pari | 360 |
| 3 | la somma delle cifre è divisibile per 3 | 261: 2 + 6 + 1 = 9 |
| 4 | le ultime due cifre sono 00 o un multiplo di 4 | 1324: 24 = 4 × 6 |
| 5 | l’ultima cifra è 0 o 5 | 145 |
| 9 | la somma delle cifre è divisibile per 9 | 738: 7 + 3 + 8 = 18 |
| 10 | l’ultima cifra è 0 | 470 |
| 11 | la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è 0 o un multiplo di 11 | 2728: (8 + 7) − (2 + 2) = 11 |
| 25 | le ultime due cifre sono 00, 25, 50 o 75 | 675 |
Domande frequenti
Qual è la scomposizione in fattori primi di 36?
36 = 2² × 3². In colonna: 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3 e 3 ÷ 3 = 1. I divisori di 36 sono 9: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
Qual è la scomposizione in fattori primi di 72?
72 = 2³ × 3², perché 72 ÷ 2 = 36, 36 ÷ 2 = 18, 18 ÷ 2 = 9, 9 ÷ 3 = 3 e 3 ÷ 3 = 1. Ha (3 + 1) × (2 + 1) = 12 divisori.
L’1 è un numero primo?
No. Un numero primo ha esattamente due divisori, 1 e sé stesso, mentre l’1 ne ha uno solo. Se l’1 fosse primo, la scomposizione in fattori primi non sarebbe più unica.
Che differenza c’è tra divisori e fattori primi?
I divisori sono tutti i numeri che dividono il numero senza resto: 360 ne ha 24. I fattori primi sono solo i divisori primi, cioè 2, 3 e 5, e la scomposizione 2³ × 3² × 5 dice quante volte compare ciascuno.
Come si capisce se un numero grande è primo?
Si prova a dividerlo per tutti i numeri primi fino alla sua radice quadrata: se nessuno lo divide, è primo. Per 1.000.000.007 bisogna arrivare a 31.622, migliaia di divisioni che il calcolatore esegue in un istante.
Ultimo aggiornamento: 14 ottobre 2026