Cómo usar la calculadora de MCD
Escribe dos o más números enteros separados por comas o espacios. Obtienes el máximo común divisor, la descomposición en factores primos de cada número, los factores primos que comparten, el algoritmo de Euclides para los dos primeros números y el resultado de dividir cada número entre el MCD, que son los números ya reducidos. La segunda fila muestra el mínimo común múltiplo del mismo grupo.
Qué es el máximo común divisor
El MCD de varios números enteros es el mayor número que los divide a todos sin dejar residuo. Se escribe MCD, M.C.D. o mcd, según el libro de texto; en inglés se llama GCD o GCF. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12; los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los comunes son 1, 2, 3 y 6, y el mayor es 6: MCD(12, 18) = 6.
Método 1: factores primos comunes con el menor exponente
- Descompón cada número en factores primos.
- Quédate solo con los factores comunes, los que aparecen en todos los números, cada uno con su menor exponente.
- Multiplícalos.
- MCD de 12 y 18: 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3² → 2 × 3 = 6.
- MCD de 18 y 24: 18 = 2 × 3² y 24 = 2³ × 3 → 2 × 3 = 6.
- MCD de 24 y 36: 24 = 2³ × 3 y 36 = 2² × 3² → 2² × 3 = 12.
- MCD de 48, 36 y 60 (el ejemplo de la calculadora): 48 = 2⁴ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5. El 5 solo está en el 60, así que no cuenta: 2² × 3 = 12.
Método 2: algoritmo de Euclides (divisiones sucesivas)
Con números grandes, descomponer es lento. El algoritmo de Euclides, de hace más de 2,000 años, solo usa divisiones: divide el mayor entre el menor, sustituye el mayor por el residuo y repite hasta que el residuo sea 0. El último residuo distinto de cero es el MCD. Para 252 y 105:
- 252 = 2 × 105 + 42
- 105 = 2 × 42 + 21
- 42 = 2 × 21 + 0
MCD(252, 105) = 21. En la escuela se suele escribir en un esquema de tres filas, con los cocientes arriba y los residuos abajo:
| Cocientes | 2 | 2 | 2 | |
| Números | 252 | 105 | 42 | 21 |
| Residuos | 42 | 21 | 0 |
Funciona porque cualquier número que divide a dos números también divide al residuo de su división, así que cada paso conserva los divisores comunes con números cada vez más pequeños. Para tres números o más, se va por pares: MCD(48, 36) = 12 y luego MCD(12, 60) = 12.
Para qué sirve: simplificar fracciones
Al dividir el numerador y el denominador entre su MCD, la fracción queda irreducible en un solo paso: 36/48 tiene MCD 12, así que se simplifica a 3/4. La calculadora de fracciones lo aplica automáticamente después de cada operación.
Problemas resueltos
Cortar en trozos iguales: tienes un listón de 120 cm y otro de 84 cm y quieres cortarlos en trozos iguales, lo más largos posible y sin que sobre nada. El largo es MCD(120, 84) = 12 cm, y salen 10 + 7 = 17 trozos.
Baldosas o losetas: un piso de 420 cm × 300 cm se quiere cubrir con baldosas cuadradas enteras, lo más grandes posible. El lado es MCD(420, 300) = 60 cm y se necesitan 7 × 5 = 35 baldosas.
Paquetes iguales: con 48 lápices y 36 gomas puedes armar como máximo MCD(48, 36) = 12 paquetes iguales, cada uno con 4 lápices y 3 gomas.
Regla práctica: si el problema habla de repartir o dividir en partes iguales lo más grandes posible, es un MCD; si habla de volver a coincidir, es un mínimo común múltiplo.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el MCD de 12 y 18?
6. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18; el mayor común es 6. Con factores primos: 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3², y la parte común es 2 × 3 = 6.
¿Qué significa que el MCD sea 1?
Que los números son primos entre sí (coprimos): no comparten ningún divisor aparte del 1. Pasa con dos primos distintos, como 17 y 5, pero también con números compuestos como 8 y 9. Una fracción cuyo numerador y denominador son primos entre sí ya es irreducible.
¿MCD, M.C.D. y mcd son lo mismo?
Sí, son formas de escribir el máximo común divisor. En inglés se llama greatest common divisor (GCD) o greatest common factor (GCF). No hay que confundirlo con el mcm, el mínimo común múltiplo.
¿Cómo se calcula el MCD de tres o más números?
Por pares: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c). O descompón todos en factores primos y multiplica los que aparecen en todos, con su menor exponente. Para 24, 36 y 60: 2² × 3 = 12.
¿Puede el MCD ser mayor que alguno de los números?
No. El MCD nunca supera al número más pequeño del grupo, y es igual a él cuando ese número divide a todos los demás: MCD(12, 36, 60) = 12.
Última actualización: 14 de octubre de 2026