Mode d’emploi
Tapez jusqu’à 20 nombres entiers positifs, séparés par des espaces, des virgules ou des points-virgules (« 1071 ; 462 »). Vous obtenez le PGCD, le PPCM, la décomposition de chaque nombre, les facteurs premiers communs, les divisions de l’algorithme d’Euclide pour les deux premiers nombres et chaque nombre divisé par le PGCD, c’est-à-dire les nombres après simplification.
Qu’est-ce que le PGCD ?
Le PGCD de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui les divise tous les deux sans reste. Les diviseurs de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48 ; ceux de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Le plus grand diviseur commun est 12 : on écrit PGCD(48 ; 36) = 12. Au-delà des petits nombres, on utilise l’une des trois méthodes suivantes.
Méthode 1 : l’algorithme d’Euclide (divisions successives)
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit, puis on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. Pour 1 071 et 462 :
- 1 071 = 462 × 2 + 147
- 462 = 147 × 3 + 21
- 147 = 21 × 7 + 0
Le dernier reste non nul est 21, donc PGCD(1 071 ; 462) = 21. La méthode fonctionne parce que tout diviseur commun de a et b divise aussi le reste a − b × q : à chaque étape, les nombres diminuent mais leurs diviseurs communs restent les mêmes.
Méthode 2 : l’algorithme des différences (soustractions successives)
On soustrait le plus petit nombre du plus grand, puis on recommence avec le plus petit des deux et la différence, jusqu’à obtenir une différence nulle. Pour 48 et 36 : 48 − 36 = 12 ; 36 − 12 = 24 ; 24 − 12 = 12 ; 12 − 12 = 0. Le PGCD est 12, la dernière différence non nulle. Simple, mais longue quand les nombres sont éloignés : une division d’Euclide regroupe plusieurs soustractions en une seule.
Méthode 3 : la décomposition en facteurs premiers
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis on garde les facteurs communs à tous, chacun avec son plus petit exposant : 48 = 2⁴ × 3, 36 = 2² × 3² et 60 = 2² × 3 × 5. Les facteurs communs sont 2 (au plus petit exposant, 2²) et 3 ; le 5 n’apparaît que dans 60. PGCD(48 ; 36 ; 60) = 2² × 3 = 12. Pour trois nombres ou plus, on peut aussi procéder deux par deux : PGCD(48 ; 36) = 12, puis PGCD(12 ; 60) = 12.
Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux : c’est le cas de 8 et 9, alors qu’aucun des deux n’est premier. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour simplifier une fraction en une seule étape, on divise ses deux termes par leur PGCD : pour 84/36, PGCD(84 ; 36) = 12, donc 84/36 = 7/3. La calculatrice de fractions fait cette simplification automatiquement.
Les problèmes types du brevet
Bouquets identiques : un fleuriste dispose de 182 roses et de 117 tulipes. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Le nombre de bouquets doit diviser 182 et 117 : c’est un diviseur commun, et le plus grand possible est le PGCD. 182 = 117 × 1 + 65 ; 117 = 65 × 1 + 52 ; 65 = 52 × 1 + 13 ; 52 = 13 × 4 + 0. Il peut faire 13 bouquets, composés chacun de 182 ÷ 13 = 14 roses et 117 ÷ 13 = 9 tulipes.
Carreaux carrés : on veut recouvrir un mur de 300 cm sur 210 cm avec des carreaux carrés identiques, les plus grands possible, sans aucune découpe. Le côté du carreau doit diviser 300 et 210 : PGCD(300 ; 210) = 30. Il faut des carreaux de 30 cm de côté, soit 10 × 7 = 70 carreaux.
Dans la rédaction, justifiez que le nombre cherché est un diviseur commun, puis que c’est le plus grand : les mots « le plus grand nombre » ou « les plus grands possible » signalent le PGCD. Si l’énoncé demande quand deux événements qui se répètent se produiront de nouveau en même temps, il faut le calcul du PPCM.
Questions fréquentes
Comment calculer le PGCD de deux nombres ?
Le plus rapide est l’algorithme d’Euclide : divisez le plus grand par le plus petit, remplacez le plus grand par le reste et recommencez jusqu’à un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Pour 60 et 36 : 60 = 36 × 1 + 24, 36 = 24 × 1 + 12, 24 = 12 × 2 + 0, donc PGCD = 12.
Que signifie un PGCD égal à 1 ?
Les nombres sont premiers entre eux : leur seul diviseur commun est 1. C’est le cas de 17 et 5, mais aussi de 8 et 9. Une fraction dont les deux termes sont premiers entre eux est irréductible.
Le PGCD peut-il être plus grand qu’un des nombres ?
Non. Il est au plus égal au plus petit des nombres, et il lui est égal quand ce nombre divise tous les autres : PGCD(12 ; 36 ; 60) = 12.
Quel est le lien entre PGCD et PPCM ?
Pour deux nombres, PGCD × PPCM = a × b. Avec 48 et 36 : 12 × 144 = 1 728 = 48 × 36. Cette relation ne vaut que pour deux nombres.
Quelle méthode utiliser en 3e ?
Celle que demande l’énoncé. Le programme actuel du collège insiste sur la décomposition en facteurs premiers ; l’algorithme d’Euclide, fréquent dans les anciens sujets de brevet, reste le plus court pour de grands nombres et revient en terminale dans l’option maths expertes.
Dernière mise à jour : 14 octobre 2026