Mode d’emploi
Tapez de 2 à 20 nombres entiers positifs, séparés par des espaces, des virgules ou des points-virgules (« 12 ; 18 ; 30 »), chacun jusqu’à mille milliards. Vous obtenez le PPCM, le PGCD, la décomposition de chaque nombre en facteurs premiers et le PPCM écrit comme un produit de facteurs premiers. La dernière ligne divise le PPCM par chaque nombre : des quotients entiers prouvent qu’il s’agit bien d’un multiple commun.
Qu’est-ce que le PPCM ?
Le PPCM de plusieurs nombres entiers est le plus petit entier positif qui soit un multiple de chacun d’eux. Les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20, 24… ; ceux de 6 sont 6, 12, 18, 24… Les multiples communs sont 12, 24, 36… et le plus petit est 12 : PPCM(4 ; 6) = 12. Tous les autres multiples communs sont des multiples du PPCM.
Méthode 1 : lister les multiples
Pour de petits nombres, on écrit les multiples du plus grand jusqu’à tomber sur un multiple des autres. Pour 6 et 8 : 8, 16, 24 ; 24 est divisible par 6, donc PPCM(6 ; 8) = 24. Rapide à la main, cette méthode devient interminable avec des nombres comme 231 et 455.
Méthode 2 : la décomposition en facteurs premiers
- On décompose chaque nombre : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5.
- On prend tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec son plus grand exposant : 2², 3² et 5.
- On multiplie : 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180.
Vérification : 180 ÷ 12 = 15, 180 ÷ 18 = 10, 180 ÷ 30 = 6. C’est la méthode qu’utilise la calculatrice, et la plus pratique pour calculer le PPCM de 3 nombres ou plus. Le PGCD se lit sur les mêmes décompositions, mais à l’inverse : on garde seulement les facteurs communs, à leur plus petit exposant.
Méthode 3 : passer par le PGCD
Pour deux nombres, PPCM(a ; b) = a × b ÷ PGCD(a ; b). Avec 21 et 6 : PGCD = 3, donc PPCM = 21 × 6 ÷ 3 = 126 ÷ 3 = 42. Le PGCD se trouve vite avec l’algorithme d’Euclide (voir le calcul du PGCD). Cette formule ne vaut que pour deux nombres ; pour trois, on procède par étapes : PPCM(a ; b ; c) = PPCM(PPCM(a ; b) ; c).
Le dénominateur commun pour additionner des fractions
Le plus petit dénominateur commun de plusieurs fractions est le PPCM de leurs dénominateurs. Pour calculer 5/6 + 3/8 : PPCM(6 ; 8) = 24, donc 5/6 = 20/24 et 3/8 = 9/24, et la somme vaut 29/24. Le produit 6 × 8 = 48 fonctionne aussi, mais oblige à simplifier ensuite. La calculatrice de fractions fait tout le calcul.
Problèmes classiques : quand les cycles se rejoignent-ils ?
Deux phares : un phare s’allume toutes les 12 secondes, un autre toutes les 18 secondes. Ils viennent de s’allumer ensemble. Ils s’allumeront de nouveau en même temps au bout de PPCM(12 ; 18) = 36 secondes.
Deux bus : au terminus, la ligne A part toutes les 15 minutes et la ligne B toutes les 20 minutes. Si les deux bus partent ensemble à 7 h, le prochain départ simultané a lieu PPCM(15 ; 20) = 60 minutes plus tard, à 8 h.
Les mots « de nouveau en même temps » ou « la prochaine fois » signalent le plus petit multiple commun. Quand l’énoncé demande au contraire de faire le plus grand nombre de parts identiques, c’est le PGCD.
PPCM de nombres courants
| Nombres | PGCD | PPCM |
|---|---|---|
| 2 et 3 | 1 | 6 |
| 4 et 6 | 2 | 12 |
| 6 et 8 | 2 | 24 |
| 8 et 12 | 4 | 24 |
| 9 et 12 | 3 | 36 |
| 10 et 15 | 5 | 30 |
| 12 et 18 | 6 | 36 |
| 15 et 20 | 5 | 60 |
| 7 et 13 | 1 | 91 |
Quand deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1), leur PPCM est leur produit ; quand l’un est un multiple de l’autre (4 et 12), le PPCM est le plus grand des deux.
Questions fréquentes
Comment calculer le PPCM de deux nombres ?
Décomposez-les en facteurs premiers et multipliez tous les facteurs, chacun avec son plus grand exposant. Ou divisez leur produit par leur PGCD : PPCM(12 ; 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36.
Comment calculer le PPCM de 3 nombres ?
Par décomposition : PPCM(12 ; 18 ; 30) = 2² × 3² × 5 = 180. Ou deux par deux : PPCM(12 ; 18) = 36, puis PPCM(36 ; 30) = 180. La formule avec le produit et le PGCD ne s’applique pas directement à trois nombres.
Quel est le PPCM de deux nombres premiers ?
Leur produit, puisqu’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : PPCM(7 ; 13) = 91 et PPCM(11 ; 17) = 187.
Le PPCM peut-il être plus petit que le plus grand des nombres ?
Non. Il est toujours au moins égal au plus grand nombre, et lui est égal quand ce nombre est un multiple de tous les autres : PPCM(3 ; 4 ; 12) = 12.
PPCM ou PGCD : lequel utiliser dans un problème ?
Le PGCD répond à « le plus grand nombre de parts identiques » ou « le plus grand carreau possible » ; le PPCM répond à « quand cela se reproduira-t-il en même temps ? » ou « quel dénominateur commun ? ».
Dernière mise à jour : 14 octobre 2026